 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
38
перестановки слагаемых.
С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в
частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин
"универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области,
например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все
высказывания имеют универсальный характер. Например, формула х + у = 5 удовлетворяется только
при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда х = 1 и у = 4, или х =
2 и у = 3, или х = 3 и у = 2, или
х = 4 и у = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно
лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству х + у = 5. Вместо слов "
существуют числа х и у" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно
представить в такой символической форме:
(Ех) (Еу) (х + у = 5),
где (Ех) и (Еу) – кванторы существования.
В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения
оцениваются как истинные или ложные.
Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы
составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем
связываем их кванторами
общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные
высказывания.
Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в
объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или
связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает
грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и
подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось,
ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.
Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют
суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические
союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный
целостный, единый смысл.
Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного
содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые
логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать
логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с
самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может
учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.
3.4. Основные логические операции над высказываниями
Прежде чем перейти к определению логических операций и связок, посредством которых
образуются сложные высказывания из простых, необходимо руководствоваться следующими
допущениями.
1. Любое высказывание в классической логике имеет одно и только одно из двух значений истинности –
"истину" или "ложь". С этой точки зрения истинностное значение будущих событий остается
неопределенным.
2. Значение истинности сложного высказывания зависит исключительно от истинностных значений
входящих в него простых высказываний. Поэтому истинностное значение сложного высказывания
представляет собой функцию истинности от образующих его простых высказываний.
3. При образовании сложных высказываний учитывается лишь истинностное значение входящих в него
простых высказываний, а не их смысл.
Определение логических операций
Простейшей из логических операций является
отрицание, с помощью которого из данного
высказывания образуется противоречащее ему высказывание. В обычном языке операция выражается