 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
456
? — параметр сглаживания, адаптации,
? =
const, 0 < ? < 1;
? = 1 - ?.
Выражение (54.9) можно представить в виде
(54.10)
В (54.10) экспоненциальная средняя в момент t выражена как экспоненциальная средняя
предшествующего момента S
t-1
плюс доля
?
отклонения текущего наблюдения
х
t
от экспоненциальной
средней S
t-1
момента t - 1.
Последовательно используя рекуррентное соотношение (54.9), можно выразить экспоненциальную
среднюю S
t
через значения временного ряда:
(54.11)
где S
0
— величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (54.9), при t
= 1.
Так как
? = (1
- ?) < 1,
то при
t
>
0 ?
t
> 0, и, согласно (54.11),
(54.12)
т.е. величина S
t
оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. При этом веса падают
экспоненциально в зависимости от давности наблюдения, откуда и название S
t
— экспоненциальная
средняя.
Из (54.12) следует, что увеличение веса более свежих наблюдений может быть достигнуто
повышением
?.
В то же время для сглаживания случайных колебаний временного ряда
x
t
величину
?
нужно уменьшить. Два названных требования находятся в противоречии, и на практике при выборе
?
исходят из компромиссного решения.
Экспоненциальное сглаживание является простейшим видом самообучающейся модели с
параметром адаптации
?.
Разработано несколько вариантов адаптивных моделей, которые использ
уют
процедуру экспоненциального сглаживания и позволяют учесть наличие у временного ряда x
t
тенденции и сезонных колебаний. Рассмотрим некоторые из таких моделей.
Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
Рассмотрим алгоритм экспоненциального сглаживания, предполагающий наличие у временного ряда
x
t
линейного тренда. В основе модели лежит гипотеза о том, что прогноз может быть получен по
уравнению
где
)
(t
ˆ
x
— прогнозируемое значение временного ряда на момент (t + ?);
t
a1
,
ˆ
,
t
a2
,
ˆ
— оценки адаптивных коэффициентов полинома первого порядка в момент t;
? — величина упреждения.
Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков для модели имеют вид
(54.13)