 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
429
Как следует из (53.8), коэффициент регрессии
B
j
показывает, на какую величину в среднем
изменится результативный признак у, если переменную х
j
увеличить на единицу измерения, т.е.
является нормативным коэффициентом.
В матричной форме регрессионная модель имеет вид
(53.9)
где Y — случайный вектор-столбец размерности п х 1 наблюдаемых значений результативного признака
(у1, у2,.... у
n
); Х— матрица размерности п х (k + 1) наблюдаемых значений аргументов, элемент матрицы
х,, рассматривается как неслучайная величина (i = 1, 2, ..., n; j=0,1, ..., k; x
0i
, = 1); ? — вектор-столбец
размерности
(k + 1) х 1 неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициентов
регрессии);
?
— случайный вектор-столбец размерности п х 1 ошибок наблюдений (остатков).
Компоненты вектора
?
i
не зависимы друг от друга, имеют нормальный закон распределения с нулевым
математическим ожиданием (M?
i
= 0) и неизвестной постоянной
?
2
(D?
i
= ?²).
На практике рекомендуется, чтобы значение п превышало k не менее чем в три раза.
В модели (53.9)
В первом столбце матрицы Х указываются единицы при наличии свободного члена в модели (53.8).
Здесь предполагается, что существует переменная x
0
, которая во всех наблюдениях принимает
значения, равные единице.
Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом п оценки
неизвестных коэффициентов регрессии ?
0
, ?1, …, ?
k
модели (53.8) или вектора ? в (53.9).
Так как в регрессионном анализе х
j
рассматриваются как неслучайные величины, a M?
i
= 0, то
согласно (53.8) уравнение регрессии имеет вид
(53.10)
для всех i = 1, 2, ..., п, или в матричной форме:
(53.11)
где Y
~
— вектор-столбец с элементами
y
~
1
...,
y
~
i
,...,
y
~
n
.
Для оценки вектора-столбца
?
наиболее часто используют метод наименьших квадратов, согласно
которому в качестве оценки принимают вектор-столбец b, который минимизирует сумму квадратов
отклонений наблюдаемых значений у
i
от модельных значений
y
~
i
, т.е. квадратичную форму:
где символом «Т» обозначена транспонированная матрица.
Наблюдаемые и модельные значения результативного признака у показаны на рис. 53.1.