 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
47
использованием геометрических образов (геометрическая алгебра позволяет выражать как
рациональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку совокупность геометрических величин
(например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, постольку такое исчисление
можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра. Например,
уравнение X² = 2 не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений
чисел. Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков: его решением является
диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для того чтобы получить решение
такого квадратного уравнения, из области чисел надлежит перейти в область геометрических величин.
Геометрическая алгебра приложима не только к соизмеримым, но и к несоизмеримым отрезкам и тем
не менее является точной наукой.
Первичные элементы геометрической алгебры — отрезки прямой. По отношению к ним
определялись арифметические вычислительные операции. Сложение интерпретировалось как
приставление отрезков, вычитание — как отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому
отрезку. Умножение отрезков приводило к построению площадей (произведением отрезков А и В
считался прямоугольник со сторонами А и В). Произведение трех отрезков давало параллелепипед.
Произведение большого числа сомножителей в геометрической алгебре не могло рассматриваться.
Деление было возможно лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя и
выступало как задача приложения площадей.
Методы геометрической алгебры имели принципиальные ограниченности: они позволяли
определить только один, положительный корень квадратного уравнения; средствами построения были
циркуль и линейка; объектами построения были геометрические образы размерности не выше второй;
уравнения степени выше третьей в геометрической алгебре древних просто невозможны.
Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории несоизмеримых
величин проявилась при выделении класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и
линейки. Среди них наиболее известны задачи удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.
Попытки их разрешения привели в дальнейшем к появлению и усовершенствованию новых
перспективных математических методов. Так, был разработан метод конических сечений, метод
исчерпывания (как предпосылки метода пределов), разработаны основы общей теории отношений,
приложимой как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин.
Значительны и астрономические идеи пифагорейцев. Есть сведения о том, что еще Пифагор
высказал идею шарообразности Земли *. Пифагорейцы первыми в Древней Греции научились
распознавать в небесном своде планеты, отличать их от звезд (в то время распознавали лишь пять
планет). Им же принадлежит идея гармонии «небесных сфер». Представители пифагорейской школы
сформулировали идею гелиоцентризма, которую впоследствии развивал Аристарх Самосский.
* См.: Дитмар А.Б. География в античное время. (Очерки развития физико-географических идей.) М., 1980. Гл. 3.
Всемирно-историческая заслуга пифагореизма — в осмыслении и утверждении категории
количества. Мир не является многообразием качественно различных предметов, вещей, за таким
качественным многообразием лежит количественное единство вещей. Каждая вещь и ее свойства
имеют определенную меру, степень роста, изменчивости, насыщенности своих качеств. Мера
изменчивости определенного качества и есть его количество. Каждая определенная вещь есть
некоторое единство качества и количества. Нельзя постичь вещь в ее сущности и в ее целостности без
выявления количественных характеристик вещи, а они постигаются математикой.
Пифагорейцы заложили основы такого представления о мире и его познании, в соответствии с
которым математические знания (о числах и их отношениях) являются важнейшим условием, ключом
к познанию природы. Начиная с Пифагора в истории культуры развивается установка на широкое
развитие математических исследований. Обратим внимание еще на одну особенность пифагореизма.
По сути, из ложной посылки, что основа мира есть число, вытекает очень разумный и плодотворный
вывод: математика есть средство познания устройства мира. И это далеко не единственный пример
того, когда из ложных общих идейных философских посылок следуют плодотворные и истинные
научные программы.
3.5. Формирование первых естественно-научных программ