 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
74
служить достаточным основанием для утверждений о правильности метода или способа решения в
целом.
Полное обоснование правильности методов решения дает только исчерпывающий анализ
результатов, получаемых для любой из задач данного класса. Пример — приведенное выше
обоснование общего метода решения линейных уравнений.
В общем случае обоснование правильности обобщенных методов решения требует
исчерпывающего математического исследования получаемых результатов и математического
доказательства их правильности для всех конкретных случаев.
В качестве примера проведем анализ правильности метода вычисления средних значений
последовательностей чисел:
Для определения средних значений с помощью ЭВМ обычно используют следующую рекуррентную
схему вычислений:
s1 = х,
{s
k
= s
k-1
(k-l) / k + x
k
/ k, (k = 2, 3, .., n)
СРЗНАЧ = s
n
Действительно, для k = 1 имеем:
s1 = х1.
Для k = 2 из рекуррентной формулы получим:
s2 = s1 (2 - 1) / 2 + х2 / 2 = s1 / 2 + х2 / 2 = x1 / 2 + х2 / 2 = (x1 + х2) / 2.
Для k = 3 из этой же рекуррентной формулы получим:
s3 = s2 (3-1) / 3 + x3 / 3 = s3 2/3 + x3 / 3 = (x1 + x2) / 2) / 2 / 3 + x3 / 3 = (х1 + х2 + x3) / 3.
На основе приведенных формул можно сделать заключение о том, что для произвольного k будет
выполняться соотношение
s
k
= (х1 + х2 + ... + х
k
) / k.
В самом деле, допустим, что это соотношение верно для k—1:
s
k-1
= (х1 + х2+ … + x
k-1
) / (k-1)
Тогда из рекуррентной формулы получим:
s
k
= S
k-1
(k - l) / k + х
k
/ k = [(x1 + x2 + ... + x
k-1
) / (k - l)] (k - l) / k + x
k
/ k = (x1 + x2 + ... + x
k-1
) / k + x
k
/ k
= (х1 + x2 + ... + х
k-1
+ x
k
) / k.
Таким образом, на каждом шаге k = 1, 2, 3, ... рекуррентная формула дает среднее арифметическое
значение обработанной последовательности чисел. Тогда на основании математической индукции
можно утверждать, что на последнем шаге вычислений при k = n будет вычислено среднее
арифметическое значение: